直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半的逆命題_直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半

【資料圖】

1、展開(kāi)3全部 直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半。

2、設(shè)在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線(xiàn)，求證：AD=1/2BC。

3、【證法1】延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE。

4、∵AD是斜邊BC的中線(xiàn)，∴BD=CD，又∵∠ADB=∠EDC（對(duì)頂角相等）， AD=DE，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）∴∠BAC+∠ACE=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）∵∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

5、【證法2】取AC的中點(diǎn)E，連接DE。

6、∵AD是斜邊BC的中線(xiàn)，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE//AB（三角形的中位線(xiàn)平行于底邊）∴∠DEC=∠BAC=90°（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等）。

7、【證法3】延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE、CE。

8、∵AD是斜邊BC的中線(xiàn)，∴BD=CD，又∵AD=DE，∴四邊形ABEC是平行四邊形（對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形），∵∠BAC=90°，∴四邊形ABEC是矩形（有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形），∴AE=BC（矩形對(duì)角線(xiàn)相等），∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

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